metode bisection

METODE BISECTION

Makalah

Diajukan untuk memenuhi tugas tersruktur

Mata Kuliah     :  Metode Numerik

Dosen             :  Saluky, M.Kom

Di susun oleh  :

Kelompok 3 :

Adek Kristine ( 59451104 )

Iwan Awlanudin (59451127 )

Kusnia (59451132 )

Riza Wijayanti (59451145 )

Tarbiyah / Smt VII / MTK D

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

SYEKH NURJATI CIREBON

2012

METODE BISECTION

Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier. Akar sebuah persamaan  adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai  sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan  adalah titik potong antara kurva  dan sumbu X.

Beberapa persamaan polynomial yang sederhana dapat diselesaikan dengan theorema sisa, sehingga tidak memerlukan metode numerik dalam menyelesaikannya, karena metode analitik dapat dilakukan. Tetapi bagaimana menyelesaikan persamaan. Tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan persamaan non linier merupakan metode pencarian akar secara berulang-ulang. Metode yang akan dibahas pada bab ini adalah metode bisection

Sebelum lebih jauh membahas metode bisection, ada sebuah teorema yang senantiasa digunakan dalam proses iterasi sebagai berikut.

Theorema

Suatu fungsi f(x) terdefinisi dan diketahui sebuah range . Fungsi f(x) akan mempunyai akar bila  dan  berlawanan tanda atau memenuhi. Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Gambar 1. Pencarian akar menggunakan metode bisection

Untuk menggunakan metode bisection, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah: Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Setelah diketahui dibagian mana yang terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

 Batasan a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a) × f(b) < 0.

Dengan rumusan c = (a+b)/2, diperiksa apakah nilai mutlak f(c ) < 0 (batas simpangan kesalahan). Jika benar, nilai x = c adalah solusi yang dicari. Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = c apabila f(a)*f(c) < a =" c "> 0; proses menemukan c baru dilakukan seperti prosedur yang telah dijelaskan.

(a = c)

[f(a) x f(c)>0]

[f(a) x f(c)<0]

Metode Bisection ini paling sederhana dan paling intractif dari metode pendekatan berturut-turut untuk melokalisasi sebuah persamaan akar f(x) = 0 dalam selang [a,b].

Metode ini didasrkan pada teorema nilai antara untuk fungsi kontinu., yang menyatakan pada suatu selang [a,b] sedemikian sehingga titik-titik ujung f berlawanan tanda, missal f(a) < 0, harus mengandung suatu akar. Metode ini merupakan pengulangan pembagiduaan selang yang memenuhi teorema di atas.

Metode bisection juga disebut metode root-finding yang mana interval bisect dengan berulang dan memilih sub interval yang mana akarnya harus ada proses berikutnya. metode ini sangat simple tapi relatif lambat. karena, biasanya sering memperoleh perkiraan yang masih kasar sebagai solusi yang kemudian digunakan untuk starting point  metode konvergen dengan cepat.

Metode ini di jaminkan untuk menemukan akar dari f (f adalah kontinyu pada interval (a,b) dan f(a) f(b) harus berlawanan tanda. Secara rinci, jika P = (a+b)/2 adalah titik tengah pada interval awal, dan Pn adalah titik tengah pada interval n, kemudian selisih antara Pn dan solusi P dibatasi oleh :

Formula ini biasanya dapat menentukan nilai kenaikan iterasi yang metode bisection akan dibutuhkan untuk menemukan akar dengan toleransi yang pasti.

Kelebihan metode ini: Sangat Simple, konvergen terjamin.

Kekurangan metode ini: proses convergen lamban.

Contoh Algoritma Metode Bisection adalah sebagai berikut :

1.      definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya.

2.      Tentukan nilai a dan b misal: a = batas bawah interval, b = batas atas interval.

3.      Tentukan toleransi e dan iterasi (pengulangan) maksimum N.

4.      Hitung f(a) dan f(b).

5.      Kondisikan jika:

• f (a) x f (b) < 0, maka terdapat akar didalam interval, maka lanjut ke tahap 2.
• f (a) x f (b) > 0, maka tidak terdapat akar didalam interval, geser posisi interval.
• f (a) x f (b) = 0, maka antara a dan b adalah akar.

6.      c = (a +b)/2

7.      hitung f(c).

8.      Uji keberadaan akar, apakah berada diantara subinterval  a dan c, atau berada diantara subinterval  c dan b. Jika :

• f (a) x f (c) < 0, maka akar berada di subinterval a dan c, maka b = c. lalu lanjut ke tahap 4
• f (a) x f (c) > 0, maka akar berada di subinterval b dan c, maka a = c. Lalu lanjut ke tahap 4

9.      jika |b – a|<e maka iterasi (pengulangan) > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = c, dan bila tidak, ulangi langkah 6.

Contoh Soal:

1.      Carilah salah satu akar persamaan berikut:

                           xe^-x+1 = 0

disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001 dengan menggunakan

 range x=[−1,0].

Jawab:

Dengan memisalkan bahwa :

n  (xl)  = batas bawah = a                       

n  (xu) = batas atas     = b

n  (xr) = nilai tengah  = x

maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

   Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan    f(x) = -0.00066

   Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum.

Catatan :

Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.

2.      Hitung  . Misalkan f(x) = 2 – x².

Jawab:

Misalkan f(x) = 2 – x².

Maka: f(1)=1 dan f(2)=-2.

Jadi akar terletak antara x₁= 1 dan x₂= 2.

Titik tengah x_{n =}  

                                ₌

                                _{=            = 1,5}

   ₌

           

n	an	bn	Xn=(an + bn) / 2	F(xn)
1	1	2	1.5	-0.25
2	1	1.5	1.25	0.4375
3	1.25	1.5	1.375	0.109375
4	1.375	1.5	1.4375	-0.06641
5	1.375	1.4375	1.40625	0.022461
6	1.40625	1.4375	1.421875	-0.02173
7	1.40625	1.421875	1.4140625	0.000427
8	1.414063	1.421875	1.41796875	-0.01064
9	1.414063	1.417969	1.416015875	-0.0051
10	1.414063	1.416016	1.415039438	-0.00234

Jadi    adalah 1.4150

3.      Cari akar dari f(x)=x³+ 3x – 5, yang ada dalam interval [a = 1, b = 2] dengan ε = 0.001

Lihat gambar di bawah ini.

Jawab.

I	a	x	b	f(a)	f(x)	f(b)
1	1	1.5	2	-1	2.875	9
2	1	1.25	1.5	-1	0.703125	2.875
3	1	1.125	1.25	-1	-0.201171875	0.703125
4	1.125	1.1875	1.25	-0.201171875	0.237060546875	0.703125
5	1.125	1.15625	1.1875	-0.201171875	0.014556884765625	0.237060546875
6	1.125	1.140625	1.15625	-0.201171875	-0.0941429138183594	0.0145568847656
7	1.140625	1.1484375	1.15625	-0.09414291381835	-0.400032997131348	0.01455688476562
8	1.1484375	1.15234375	1.15625	-0.04000329971313	-0.0127759575843811	0.01455688476562
9	1.15234375	1.154296875	1.15625	-0.0127759575843	0.000877253711223	0.0145568847656

Jadi akar adalah 1.154297

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, Steven dkk. 1996. Metode Numerik . Jakarta: Erlangga

Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Bandung: Informatika

Salusu, A. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=metode+bisection&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CCQQFjAB&url=http://directory.umm.ac.id/Labkom_ICT/labkom/bisection/2-metode-bagi-dua.ppt&ei=VM5VUKH4JofyrQep6ICQCA&usg=AFQjCNE6S5Zbv8vpiAD09bi7KRmglABQLg. Diunduh  : minggu 16-09-2012. pukul : 20:12 WIB

 lebih jelasnya klik www.iaincirebon.ac.id